皆さん、寒さもますます厳しくなってまいりましたが、風邪にはお気を付けください。
特に受験生の皆さん(私もそうですが)、この時期の体調は結構この先重要なので…。

さて、皆さんは中学で習った数学の定理・定義をちゃんと覚えていますか?
けっこう忘れてるもんなんですよね 、こういうの。
そして高校入ってから苦労するという…。(特に証明の問題)
なので、きっちり頭の中にインプットしておく必要があるんです。
ということで、まずは中学二年生で習った部分をおさらいしましょう。

注意

数学の定理・定義はその教科書によって若干言い回しが違っています。ここにこれから書くのは、私が中学当時使っていた「啓林館」の教科書に載っていたことばです。「なんか自分の教科書に載ってるのと違う…」ということもありますので、中学生の方はお手持ちの教科書と一度見比べるのがよろしいと思います。

1.対頂角の性質
対頂角は等しい。

これは いわずもがな、というよりほとんどの証明で使いますね。
見りゃわかるがな!という方、基本からなのであしからず。(こっからいやでも長いの出てきます)
  
2.平行線の性質
二つの直線に一つの直線が交わるとき、次のことが成り立つ。
①二つの直線が平行ならば、同位角は等しい。
②二つの直線が平行ならば、錯角は等しい。

でました、同位角と錯角。
これも、よく合同などの証明問題で使いますね。


3.平行線になる条件
二つの直線に一つの直線が交わるとき、次のことが成り立つ。
①同位角が等しいならば、二つの直線は平行である。
②錯角が等しいならば、二つの直線は平行である。

上の逆ですね。
平行四辺形の証明の問題などでよく使われます。

4.三角形の内角・外角の性質
①三角形の内角の和は180°である。
②三角形の一つの外角は、その隣にない二つの内角の和に等しい。

①はわりとわかりやすいんですけど、②は気づかない人が多いです。
でもけっこう図形の問題で使ったりするんですよね…。

5.鋭角・鈍角の定義
鋭角…0°より大きく、90°より小さい角を鋭角という。
鈍角…90°より大きく、180°より小さい角を鈍角という。

これ自体は、あんまり問題で乗ってたようには思いませんが…。
たとえば、「二角が○°、△°の三角形は鋭角三角形か?」とかいう風にのっていた気がします。

6.多角形の内角の和
n角形の内角の和は、180°×(n-2)である。

使った気がします。
「24角形の内角の和は?」とか、「正十八角形の一つの内角は?」とか。

7.多角形の外角の和
多角形の外角の和は360°である。

上の問題の場合、360-(360÷18)で出したほうが早いですね。
とにかく、いちいち内角を求めなくてもいいので便利です。

8.合同な図形の性質
①合同な図形では、対応する線分の長さは等しい。
②合同な図形では、対応する角の大きさは等しい。

やっとでできましたね、合同。
でも当然過ぎて、長い証明問題では「よって」で省略されることも…。

9.三角形の合同条件
二つの三角形は、次の場合に合同である。
①3辺がそれぞれ等しいとき。
②2辺とその間の角がそれぞれ等しいとき。
③1辺とその両端の角がそれぞれ等しいとき。

ホントに良く使いますよね、これ。
この3つは少なくとも一字一句間違えないようにしましょう。   

10.二等辺三角形の定義
2つの辺が等しい三角形を二等辺三角形という。

…これ、別に書かなくてもいいじゃん。
と、中学時代思ってました。
だって、そのまんまじゃん!!

11.二等辺三角形の底角
二等辺三角形の2つの底角は等しい。

これも、よく考えれば普通ですよね。

12.二等辺三角形の頂角の二等分線
二等辺三角形の頂角の二等分線は、底辺を垂直に2等分する。

… これは、あまり実際に使わなかったような。
まあ、覚えておくと実生活で何かと便利ですけどね♪

13.2角が等しい三角形
2つの角が等しい三角形は、二等辺三角形である。

11の逆ですね。
そこそこ問題では使ったと思います。

14.直角三角形の斜辺の定義
直角三角形で、直角に対する辺を斜辺という。

これ、「へぇ~」と思いましたね。
そういう言い方するんだな~と。
確かに、「斜めの辺」じゃわかりませんもんね。

15.直角三角形の合同条件
2つの直角三角形は、次の各場合に合同である。
①斜辺と一つの鋭角がそれぞれ等しいとき。
②斜辺と他の1辺がそれぞれ等しいとき。

これも証明ではよく使いますね。
三角形の合同条件とともに、暗記しておいたほうがいいと思います。

16.平行四辺形の定義
2組の向かい合う辺がそれぞれ平行な四角形を平行四辺形という。

まあ、これもそのまんまですから覚えやすいと思います。

17.平行四辺形の性質
①平行四辺形の向かい合う辺は等しい。
②平行四辺形の向かい合う角は等しい。
③平行四辺形の対角線は、それぞれの中点で交わる。

①②はすぐピンとくると思うのですが、③は問題を解いていてもなかなか気づかない人が多いです。

18.平行四辺形になる条件
四角形は次の場合平行四辺形である。
①2組の向かい合う辺がそれぞれ平行であるとき。
②2組の向かい合う辺がそれぞれ等しいとき。
③2組の向かい合う角がそれぞれ等しいとき。
④対角線がそれぞれの中点で交わるとき。
⑤1組の向かい合う辺が等しくて平行であるとき。

⑤は中学で初めて出てきたと思います。
でも、結構使うので覚えておいたほうがいいです。

19.長方形・ひし形・正方形の定義
長方形…4つの角が等しい四角形
ひし形…4つの辺が等しい四角形
正方形…4つの角が等しく、4つの辺が等しい四角形。

長方形もひし形も正方形も平行四辺形の一部なんですよね。
そして、長方形でもありひし形でもあるのが正方形でもある。

20.底辺が共通な三角形
一つの直線上の2点A,Bと、その直線の同じ側にある2点P,Qについて
①PQ∦(平行)ABならば、△PAB=△QAB
②△PAB=△QABならば、PQ∦(平行)AB

いわゆる「等積変形」ってやつです。
わりと使う…かな?


さて、いかがでしたでしょうか。
ここまでは、中学二年で習った定義・定理です。
次回は中学三年生の「相似」関係をしたいと思います。
中学生の皆さん、勉強頑張ってくださいね♪             

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